染雾圆锥曲线知识点总结 篇一
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结。
一、基本概念
1. 定义：圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点构成的曲线。
2. 焦点和准线：焦点是一个点，准线是一个直线。圆锥曲线上的每个点到焦点的距离与到准线的距离之比始终保持不变。
二、性质
1. 离心率：离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数。圆锥曲线的离心率等于焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意一点的距离之比。
2. 对称性：圆锥曲线通常具有关于焦点或准线对称的性质，这使得我们可以通过对称性来求解曲线上的点的坐标。
3. 渐近线：圆锥曲线可能有渐近线，即曲线在无限远处与一条直线趋于平行。
4. 弧长和曲率：圆锥曲线的弧长和曲率是研究曲线形状和性质的重要工具。
三、常见类型
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中最简单的一种类型，它具有两个焦点和一条准线。椭圆的离心率小于1。
2. 双曲线：双曲线也是一种常见的圆锥曲线类型，它具有两个焦点和一条准线。双曲线的离心率大于1。
3. 抛物线：抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它只有一个焦点和一条准线。抛物线的离心率等于1。
4. 直线：直线也可以看作是一种特殊的圆锥曲线，它的离心率为无穷大。
综上所述，圆锥曲线是由焦点和准线确定的曲线，具有离心率、对称性、渐近线等性质。常见的圆锥曲线类型包括椭圆、双曲线、抛物线和直线。对圆锥曲线的研究和应用有助于我们更好地理解数学和物理学中的相关概念。
圆锥曲线知识点总结 篇二
圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。本文将继续探讨圆锥曲线的性质、方程和重要应用。
四、性质
1. 切线和法线：圆锥曲线上的每一点都有且只有一条切线和一条法线。切线是曲线在该点的切线，法线是与切线垂直的直线。
2. 焦点和直角：圆锥曲线上的焦点和切线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
3. 曲线方程：圆锥曲线的方程可以用代数方式表示，例如椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
五、方程和参数
1. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以用参数t表示，例如x = a*cos(t)和y = b*sin(t)。这个参数方程可以用来描述椭圆上的每一个点的坐标。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴长度。双曲线还有其他形式的方程，例如(x/a)^2 - (y/b)^2 = -1和(x/a)^2 - (y/b)^2 = k。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。抛物线还有其他形式的方程，例如x = ay^2 + by + c和y^2 = 4ax。
六、重要应用
1. 物理学：圆锥曲线在物理学中有广泛的应用，例如描述行星轨道、天体运动和光的反射等现象。
2. 工程学：圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，例如设计桥梁和隧道、构建天线和反射镜等。
3. 计算机图形学：圆锥曲线在计算机图形学中被广泛应用于曲线造型和图像处理等方面，例如绘制曲线、渲染曲面和图像变形等。
综上所述，圆锥曲线具有切线和法线、曲线方程和重要应用等性质。通过参数方程和标准方程，我们可以描述椭圆、双曲线和抛物线等不同类型的圆锥曲线。圆锥曲线在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用，对于我们理解和应用圆锥曲线具有重要意义。
圆锥曲线知识点总结 篇三
圆锥曲线的应用
【考点透视】
一、考纲指要
1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用"数形结合"、"几何法"求某些量的最值.
2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.
二、命题落点
1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;
2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题
的能力，如例2;
3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.
【典例精析】
例1：(2004・福建)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A.(2-2)a万元 B.5a万元
C. (2+1)a万元 D.(2+3)a万元
解析:设总费用为y万元,则y=a・MB+2a・MC
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,
∴曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.
过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.
∴y= a・2MD+ 2a・MC=2a・(MD+MC)≥2a・CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).
∵CE=GB+BH=(c-)+BC・cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).
答案:B.
例2：(2004・北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,
求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
解析:(1)当y=时,x=.
又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,
所求距离为.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.
由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,
故.同理可得,
由PA、PB倾斜角互补知 , 即,
所以, 故.
设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,
所以kAB是非零常数.
例3：(2004・广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,
∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680, 即P(-680,680), 故PO=680.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.
【常见误区】
1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;
2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.
【基础演练】
1.(2005・重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.
C. D.2
2.(2002・全国)设,则二次曲线的.离心率的取值范围为( )A. B.C. D.
3.(2004・精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它
的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能
擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )
A. B.1 C. D.2
4. (2004・泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有 ( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
5.(2004・湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .
6.(2004・上海) 教材中"坐标平面上的直线"与"圆锥曲线"两章内容体现出解析几何的本质是 .
7.(2004・浙江)已知双曲线的中心在原点,
右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,
点M(m,0)到直线AP的距离为1,
(1)若直线AP的斜率为k,且|k|?[],
求实数m的取值范围;
(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,
求此双曲线的方程.
8. (2004・上海) 如图, 直线y=x与抛物
线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平
分线与直线y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
9.(2004・北京春) 2003年10月15日9时,"神舟"五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km.
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡
天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确
到1km/s)(注:km/s即千米/秒)
