染雾初中数学二次函数知识点总结 篇一
二次函数是初中数学中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。在初中数学中，学习二次函数的知识可以帮助学生更好地理解数学的抽象概念，培养逻辑思维和问题解决能力。本篇文章将对初中数学二次函数的知识点进行总结和归纳。
1. 二次函数的定义
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。其中，a决定了抛物线的开口方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特点
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和大小由a的正负决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为x = -b/2a。
3. 二次函数的零点
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。根据二次函数的定义可知，二次函数的零点一般有两个解，除非抛物线与x轴相切或者不相交。
4. 二次函数的最值
对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的函数值；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的函数值。顶点坐标的y值即为最值。
5. 二次函数的平移和缩放
二次函数的图像可以通过平移和缩放进行变换。平移时，只需将二次函数的顶点坐标平移即可；缩放时，只需改变a的值即可。
6. 二次函数的方程
给定二次函数的图像，可以通过图像求解二次函数的方程。根据抛物线的顶点坐标、零点坐标等信息，可以列出二次函数的方程。
7. 二次函数的应用
二次函数在现实生活中有着广泛的应用。例如，抛物线的形状可以用来描述物体的运动轨迹；二次函数的最值可以用来求解最优化问题等。
通过对初中数学二次函数的知识点进行总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。掌握二次函数的定义、图像特点、零点、最值、平移和缩放、方程以及应用等知识点，可以帮助我们更好地解决与二次函数相关的问题，并为更高层次的数学学习打下坚实的基础。
初中数学二次函数知识点总结 篇二
二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在代数学中有着重要的地位。二次函数不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、经济等领域也有重要的作用。本篇文章将对初中数学二次函数的知识点进行总结和归纳。
1. 二次函数的定义和图像特点
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和大小由a的正负决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为x = -b/2a。
2. 二次函数的零点和最值
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。根据二次函数的定义可知，二次函数的零点一般有两个解，除非抛物线与x轴相切或者不相交。二次函数的最值是指函数图像的最高点和最低点的函数值。对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的函数值；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的函数值。顶点坐标的y值即为最值。
3. 二次函数的方程和解法
对于给定的二次函数图像，可以通过图像求解二次函数的方程。根据抛物线的顶点坐标、零点坐标等信息，可以列出二次函数的方程，并通过求解方程来确定二次函数的解。
4. 二次函数的平移和缩放
通过对二次函数的参数进行变换，可以实现二次函数的平移和缩放。平移时，只需将二次函数的顶点坐标平移即可；缩放时，只需改变a的值即可。
5. 二次函数的应用
二次函数在现实生活中有着广泛的应用。例如，抛物线的形状可以用来描述物体的运动轨迹；二次函数的最值可以用来求解最优化问题等。通过对二次函数的学习和应用，可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力，为他们今后的学习和工作打下坚实的基础。
通过对初中数学二次函数的知识点进行总结，可以帮助学生更好地理解和应用这一概念。掌握二次函数的定义、图像特点、零点、最值、方程、平移和缩放以及应用等知识点，可以为学生今后的数学学习和应用提供帮助，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
初中数学二次函数知识点总结 篇三
初中数学二次函数知识点总结
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的.根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
