染雾数学研究小论文 篇一：线性代数在机器学习中的应用
摘要：线性代数作为数学的一个重要分支，在机器学习领域有着广泛的应用。本文将从矩阵运算、特征值分解和奇异值分解等几个方面，探讨线性代数在机器学习中的应用。
1. 引言
在机器学习领域，数据的处理和分析是一个重要的任务。线性代数提供了一种强大的数学工具，可以有效地处理和分析数据。矩阵运算、特征值分解和奇异值分解等线性代数的概念和方法，被广泛应用于机器学习算法的设计和优化中。
2. 矩阵运算
矩阵是线性代数的基本概念，也是机器学习中常用的数据表示方式。矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法等操作，可以用来描述数据的线性关系和变换。在机器学习中，矩阵运算常用于数据的预处理、特征的提取和模型的训练等环节。
3. 特征值分解
特征值分解是线性代数中的重要概念，可以将一个矩阵分解为特征向量和特征值的乘积。在机器学习中，特征值分解可以用来降维和提取数据的主要特征。例如，在主成分分析算法中，通过特征值分解可以得到数据的主成分，从而实现数据的降维和压缩。
4. 奇异值分解
奇异值分解是线性代数中的另一个重要概念，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。在机器学习中，奇异值分解常用于矩阵的降维和模型的优化。例如，在推荐系统中，通过奇异值分解可以得到用户和物品的隐含特征，从而实现个性化推荐。
5. 结论
线性代数在机器学习中有着广泛的应用。矩阵运算、特征值分解和奇异值分解等线性代数的概念和方法，可以有效地处理和分析数据，优化机器学习算法的设计和实现。因此，掌握线性代数的基本知识和技巧，对于从事机器学习研究和应用的人来说，是非常重要的。
数学研究小论文 篇二：离散数学在密码学中的应用
摘要：离散数学作为数学的一个分支，对密码学的发展和应用起到了重要的推动作用。本文将从离散数学的几个重要概念，如置换、组合和有限域等方面，探讨离散数学在密码学中的应用。
1. 引言
密码学是信息安全领域的重要分支，研究如何保证信息的机密性和完整性。离散数学作为密码学的基础，提供了一种强大的数学工具，可以用于设计和分析密码算法。置换、组合和有限域等离散数学的概念和方法，被广泛应用于密码学算法的设计和攻击中。
2. 置换
置换是离散数学中的一个重要概念，可以用来描述数据的混淆和重排。在密码学中，置换常用于密码算法的设计和密码分析的方法。例如，在经典密码算法中，通过不同的置换方式可以实现数据的置换和替换，从而实现信息的加密和解密。
3. 组合
组合是离散数学中的另一个重要概念，用于描述事物的选择和排列。在密码学中，组合常用于密码算法的设计和密码攻击的方法。例如，在现代密码算法中，通过组合不同的操作可以实现数据的混淆和扩散，从而增强密码算法的安全性。
4. 有限域
有限域是离散数学中的一个重要概念，用于描述具有有限元素的代数结构。在密码学中，有限域常用于密码算法的设计和密码攻击的方法。例如，在公钥密码算法中，通过有限域上的运算可以实现数据的加密和解密，从而保证信息的机密性和完整性。
5. 结论
离散数学在密码学中有着广泛的应用。置换、组合和有限域等离散数学的概念和方法，可以用于设计和分析密码算法，提高密码算法的安全性和效率。因此，掌握离散数学的基本知识和技巧，对于从事密码学研究和应用的人来说，是非常重要的。
数学研究小论文 篇三
【摘要】《初等数学研究》是高校数学系师范专业的一门重要的专业课，从中学数学教学需要出发，立足中学数学教材，适当充实延拓，在理论、观点和方法上适当予以提高，为师范生尽快适应中学的教学工作打下必要的基础。本文对课程的教学思想、教学目标、教学方法改革等方面进行相关的探讨及总结。
【关键词】初等数学研究；教学思想；教学方法；改革
一、课程改革的背景
随着教育部《全日制义务教育数学课程标准》及《初中数学课程标准》的颁布，不同的人在数学上得到不同的发展等基本教学理念不仅对中小学教师提出更高要求，也对高校数学师范教育提出更高的要求和挑战。教师要引导学生自主探索和合作交流，以适应新形势的教学要求。
《初等数学研究》包括初等代数研究和初等几何研究两部分内容，是高校数学系师范专业的一门重要专业课，在我校是大三开设的一门专业核心必修课。其教材一般是根据课程大纲要求，从中学数学教学需要出发，立足中学数学教材，适当充实延拓，在理论、观点和方法上适当予以提高，为师范生尽快适应中学的教学工作打下必要的基础。通过对本课程的学习，使学生掌握系统的初等数学知识，可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高学生的逻辑思维，观察分析综合推究等数学能力，为学生将来当数学教师并能愉快地胜任中学数学教学作了准备。它和《中学教材教法》都是训练中学数学教学技能，培养和提高学生从师任教能力与素养的重要课程。
二、教材存在的问题
在教学工作中发现：
1.教材内容比较抽象
该门课程主要是关于理论体系完整和纯理论及方法的研究，而这些东西的大部分基础内容已为学生所知晓，故学生比较松懈，但将问题展开后，还是觉得有些吃力。比如，几何中的轨迹命题的探求、证明完备性和纯粹性的证明，特别是纯粹性的证明学生不知如何下手，甚至已知什么，要证明什么都搞不清楚，更无法用准确的数学语言阐述，且逻辑性不强，故学生学习的积极性不高，妨碍了该专业培养目标的全面实现。
2.教材内容不够创新
教材内容缺少观察、比较、归纳、类比、猜想等合情推理的教学内容和数学文化气息，和现实中学教材的联系不够紧密，随着中学新教改工作的.不断推进，这样的教材难于适应时代要求。
三、教学改革的探索
中学教改需要具有研究创新能力的人才，高校教改要求培养研究人才。在教学中应把提高学生学习兴趣和培养学生的初等数学研究创新能力作为该课程教学的一项重要要求，重视对学生进行研究创新能力的培养。根据学生已经掌握的初等数学的内容及思考方式，我的教学改革将会采用多样的教学方式方法，如:教师讲课、自学辅导法，学生上台演示、引导发现，启研法，等等。这样，一方面可使课堂教学灵活多变，激发学生的学习兴趣;另一方面又可使学生掌握更多的教学方法，尽早体验教师工作。为大四的实习打下基础，能很快适应实习生活，也为就业面试做准备。
我在长期的教学过程中，不断总结，主要有如下的改革：
1.对教材内容灵活安排，增加介绍中学新教改的内容
为了适应中学课程改革的需要，初等数学研究课程必须精选内容，用以较高的观点审视、观察和阐述初等数学中的相关内容，对中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念给出精确的定义，对未作证明或证明不完整的具有广泛应用性的教学思想方法作进一步的训练与研究，帮助学生对初等数学知识形成较完善的认知结构，并增加部分新教改内容。为学生将来从事数学教学、研究工作和应用数学打下坚实的基础。对中学中学生比较熟悉的内容快速带过，而中学没有讲透或没提到的内容着重讲解，如:不定式的部分内容、允许重复的排列与组合、梅涅劳定理、初等几何的变换、轨迹、作图等内容着重讲解。
2.授课方式灵活多样，主要采取教师导引——自主学习——师生讨论交流等形式
新课改强调“探究”教学方法，提倡主体教育、师生互动和科学探索，强调以“探究”为特征的教学策略、方法，师生开展研究性学习，对学生可自学掌握的内容简化，分小组讨论，上台演示，不仅要讲解题目的解答过程，还要讲解自己的思维过程，下面学生提问。其他学生有不同的解法和意见，可以上台补充，在这样的互动气氛下，台上台下学生思维更为活跃，课堂气氛热烈。学生毕业后大多到中小学工作，而中学招聘教师时通常要经过说课和试讲一关，经过学生上台演示，学生不但对所学内容理解更透彻，经过这样的训练，学生的教态、口才、组织教学能力等也得到了提高，不少学生还要求多次上台机会，课堂气氛很活跃。
3.突出研究特点，重视培养学生的研究创新能力
调动学生的积极性和让学生参与进来研究是上好这门课程的关键。从确立学生的主体地位入手，有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式，使教师成为教学活动的组织者、引导者、合作者，学生真正
成为学习的主人。重视对学生进行研究创新能力的培养。师范专业的学生毕业后大多到中小学工作，且目前我国的教育还是应试教育的阶段，鼓励学生查阅近年的中考或高考题，自己作系统的归纳总结，并结合所学知识对题解也作相应的总结，为就业面试的试讲及说课做准备。
课后给学生布置研究任务，介绍研究的方法、步骤和基本要求，资料的收集、整理和加工方面的知识，指出参考读物。课堂教学应引导启发学生分析探索，在传授知识技能的同时，更要注重培养学生的探索研究能力。根据学生的成果，会在下课前留出十几分钟让学生上台演示自己的成果。这样可激起学生探索研究的兴趣和潜能。比如，讲到数列内容时，就有学生结合高中知识，总结了数列求和的一般方法，数列通项求法总结，详细分析可化为递归问题的类型和不动点法求数列通项的类型，并就书本上的例子分别以不同的方法给予解答。中学几何问题较多会用代数方法解决，学生就一些几何证明问题，分别利用不同的方法给予归纳。不少学生在探索研究过程中，已经找到毕业论文的方向。使学生扩大了知识面，提高了科研意识和能力。
4.大学所学知识与初等数学知识建立联系
结合《高等代数》和《高等几何》的知识对相关内容作比较及联系，例如利用初等数学方法和仿射变换来证明梅涅劳定理等，使学生对所学内容更感兴趣。
利用高等数学的知识，如极限、导数等，讲解不等式的证明、函数凹凸性的证明分别利用初等数学及高等数学教学，与大学所学知识融会贯通，思路更加开阔。
5.运用现代的教学手段
制作教学课件，提高课堂教学效率。特别在几何变换、轨迹的求解和一些涉及合成轨迹的例子中利用“几何画板”，可将图形变换的整个动态过程演示出来，并能多次重复再现整个分析过程，让学生理解得更透彻，并能够注意到在解轨迹题的时候要更全面，不会有遗漏。
6.评价目标多元化
学生学习评价目标多元化，既要考查对课本知识的掌握及基本技能，又要考查学生的学习态度和学习能力，最后的成绩由期末考试、平时作业、上讲台演示、学生的小研究等几方面综合评定，给出期末的综合评分，反映出学生的真实水平。
四、结 语
经过教学研究改革，调动学生学习及研究的积极性，学生对数学课程产生了兴趣，课堂气氛活跃。通过对数学的学习，学生对今后的就业及工作更有信心，产生初步的热情，使学生具备说数学、写数学和交流数学活跃课堂的能力，把学生培养成既善于教学又具备初级科研能力的数学专业教师。
【参考文献】
［1］余元希，田万海，毛宏德。初等代数研究［M］。北京：高等教育出版社，2008。
［2］朱德祥，朱维宗。初等几何研究［M］。高等教育出版社，2006。
［3］陈沫。基础教育改革背景下高等院校“初等几何研究”课程的改革［J］。贵州师范大学硕士学位论文，2006。
［4］刘学军，魏喜凤，孙庆利。在“初等数学研究”中开展研究性学习的探究与实践［J］。石家庄学院学报，2006(3):117-120。
