染雾高一数学教案 篇一
标题：解析几何中的向量运算
引言：
解析几何是高中数学中的重要内容之一，它是代数与几何的结合，通过运用代数的方法来研究几何问题。在解析几何中，向量运算是一项基础且重要的内容。本教案将重点介绍向量的加法、减法、数量乘法以及点乘、叉乘等运算方法，帮助学生掌握解析几何中的向量运算。
一、向量的表示与基本概念
1. 向量的表示：向量由大小和方向两个要素确定，通常用有向线段来表示，记作AB→。
2. 向量的模长：向量AB→的模长记作|AB→|，表示向量的长度。
3. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→或0。
二、向量的加法与减法
1. 向量的加法：设有向量AB→和向量CD→，则它们的和记作AB→ + CD→，表示从A点出发，先沿AB→的方向走，再沿CD→的方向走，最终到达的点。
2. 向量的减法：设有向量AB→和向量CD→，则它们的差记作AB→ - CD→，表示从A点出发，先沿AB→的方向走，再反方向沿CD→的方向走，最终到达的点。
三、向量的数量乘法
1. 向量的数量乘法：设有向量AB→和实数k，称kAB→为向量AB→的数量积。若k>0，则kAB→的方向与AB→相同；若k<0，则kAB→的方向与AB→相反。
四、点乘与叉乘
1. 向量的点乘：设有向量AB→和向量CD→，它们的点乘记作AB→·CD→，表示AB→与CD→的夹角余弦值乘以它们的模长之积。
2. 向量的叉乘：设有向量AB→和向量CD→，它们的叉乘记作AB→×CD→，表示一个与AB→和CD→均垂直的向量。
五、教学活动设计
1. 案例分析：通过解析几何中的典型问题，引导学生理解向量的加法、减法和数量乘法的概念，并运用到具体问题中。
2. 探究实验：设计实验，让学生通过实际测量、计算等方式，验证点乘和叉乘的性质和运算规律。
3. 练习与巩固：设计一些习题，让学生独立进行解答，巩固向量运算的基本知识和技巧。
六、小结
通过本节课的学习，学生将掌握解析几何中向量运算的基本概念与方法，能够灵活运用向量的加法、减法、数量乘法以及点乘、叉乘等运算解决实际问题。同时，通过案例分析、实验探究和练习巩固等教学活动，提高学生的理解能力和解决问题的能力。
高一数学教案 篇二
标题：三角函数的基本概念与性质
引言：
三角函数是高中数学中的重要内容之一，它与三角关系密切相关，是解决三角形及其相关问题的重要工具。本教案将重点介绍三角函数的基本概念与性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的周期性、奇偶性等特点，帮助学生理解并掌握三角函数的基本知识。
一、正弦函数与余弦函数
1. 正弦函数：在单位圆上，从圆心出发，与横轴正向夹角为θ的点的纵坐标叫做θ的正弦，记作sinθ。
2. 余弦函数：在单位圆上，从圆心出发，与横轴正向夹角为θ的点的横坐标叫做θ的余弦，记作cosθ。
二、正切函数与余切函数
1. 正切函数：在单位圆上，从圆心出发，与横轴正向夹角为θ的点的纵坐标除以横坐标的比值叫做θ的正切，记作tanθ。
2. 余切函数：在单位圆上，从圆心出发，与横轴正向夹角为θ的点的横坐标除以纵坐标的比值叫做θ的余切，记作cotθ。
三、三角函数的周期性与奇偶性
1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数的周期都是2π，也就是说，它们的函数值在每个周期内重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
四、教学活动设计
1. 图像观察：通过绘制正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，让学生观察它们的周期性和奇偶性。
2. 推导与证明：引导学生通过单位圆的性质，推导出正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其性质。
3. 练习与巩固：设计一些计算和证明题目，让学生独立进行解答，巩固三角函数的基本概念和性质。
五、小结
通过本节课的学习，学生将理解并掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的基本概念与性质，能够绘制函数图像、计算函数值以及运用函数性质解决实际问题。同时，通过图像观察、推导与证明以及练习巩固等教学活动，提高学生的理解能力和运用能力。
高一数学教案 篇三
高一数学教案 篇四
1.2.1中心投影与平行投影 1.2.2空间几何体的三视图
：能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。
：画出三视图、识别三视图。
：识别三视图所表示的空间几何体。
1、 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
2、 引入：从不同角度看庐山，有古诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上。
三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；
直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形。
用途：工程建设、机械制造、日常生活。
1、 教学中心投影与平行投影：
① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
③ 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。 分正投影、斜投影。
讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果。
2、 教学柱、锥、台、球的三视图：
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图
讨论：三视图与平面图形的关系？ 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高
结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果。 正视图、侧视图、俯视图。
③ 试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图。 (
④ 讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
⑤ 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状。
（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）
3、 教学简单组合体的三视图：
① 画出教材p16 图(2)、(3)、(4)的三视图。
② 从教材p16思考中三视图，说出几何体。
4、 练习：
① 画出正四棱锥的三视图。
画出右图所示几何体的三视图。
③ 右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状。
5、 小结：投影法；三视图；顺与逆
练习：教材p17 1、2、3、4
第二课时 1.2.3 空间几何体的直观图
教学要求：掌握斜二测画法；能用斜二测画法画空间几何体的直观图。
教学重点：画出直观图。
高一数学教案 篇五
（1）理解函数的概念
（2）会用集合与对应语言来刻画函数，
（3）了解构成函数的要素。
函数概念的理解
函数符号y=f(x)的理解
自学课本p29—p31，填充以下空格。
1、设集合a是一个非空的实数集，对于a内 ，按照确定的对应法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合a上的一个函数，记作 。
2、对函数 ，其中x叫做 ，x的取值范围（数集a）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合 叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。
3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要
。
4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：
① ；② 。
5、设a, b是两个实数，且a
（1）满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，记作 。
（2）满足不等式a
（3）满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ；
分别满足x≥a,x>a,x≤a,x
其中实数a, b表示区间的两端点。
完成课本p33，练习a 1、2;练习b 1、2、3。
题型一：函数的概念
例1：下图中可表示函数y=f（x)的图像的只可能是( ）
练习：设m={x| }，n={y| }，给出下列四个图像，其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有____个。
题型二：相同函数的判断问题
例2：已知下列四组函数：① 与y=1 ② 与y=x ③ 与
④ 与 其中表示同一函数的是( )
a. ② ③ b. ② ④ c. ① ④ d. ④
练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是( )
a. 和 b. 和
c. 和 d. 和
题型三：函数的定义域和值域问题
例3：求函数f(x)= 的定义域
练习：课本p33练习a组 4.
例4：求函数 ， ，在0，1，2处的函数值和值域。
1、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ a ）
a、 b、
c、 d、
2、已知函数 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是（ c ）
a、5 b、-5 c、6 d、-6
3、给出下列四个命题：
① 函数就是两个数集之间的对应关系；
② 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；
③ 因为 的函数值不随 的变化而变化，所以 不是函数；
④ 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了。
其中正确的有（ b ）
a. 1 个 b. 2 个 c. 3个 d. 4 个
4、下列函数完全相同的是 （ d ）
a. ， b. ，
c. ， d. ，
5、在下列四个图形中，不能表示函数的图象的是 （ b ）
6、设 ，则 等于 （ d ）
a. b. c. 1 d.0
7、已知函数 ，求 的值。( )
高一数学教案 篇六
一、教学内容：椭圆的方程
要求：理解椭圆的标准方程和几何性质．
重点：椭圆的方程与几何性质．
难点：椭圆的方程与几何性质．
二、点：
1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
第二定义：
平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e．（0标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图 形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
性 质
焦点在x轴上
范 围：
对称性： 轴、 轴、原点．
顶点： ， ．
离心率：e
概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：
范围：
2、椭圆中a，b，c，e的关系是：（1）定义：r1＋r2=2a
（2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面积： = r1r2 sin ？2c y0 （其中p（ ）
三、基础训练：
1、椭圆 的标准方程为 ，焦点坐标是 ，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆 的值是__3或5__；
3、两个焦点的坐标分别为 ___；
4、已知椭圆 上一点p到椭圆一个焦点 的距离是7，则点p到另一个焦点5、设f是椭圆的一个焦点，b1b是短轴， ，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是 ；
满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为
8、直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系 顶点 ，顶点 在椭圆 上，则10、已知点f是椭圆 的右焦点，点a（4，1）是椭圆内的一点，点p（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则 的最大值是 8 ．
例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程．
解：设方程为 ．
所求方程为
（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程．
解：设方程为 ．
所求方程为（3）已知三点p，（5，2），f1 （-6，0），f2 （6，0）．设点p，f1，f2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 ．
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 ∴所以所求椭圆的标准方程为（4）求经过点m（ ， 1）的椭圆的标准方程．
解：设方程为
例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点a（离地面最近的点）距地面439km，远地点b（离地面最远的点）距地面2384km，并且 、a、b在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 （精确到1km）．
解：建立如图所示直角坐标系，使点a、b、 在 轴上，
则 =oa－o = a=6371＋439=6810
解得 =7782.5， =972.5
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用符号表示此结论：
上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆
解：知圆可化为：圆心q（3，0），
设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆m和圆q内切，所以 ，
即 ，故m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆，且pq中点为原点，所以 ，故动圆圆心m的轨迹方程是：
例4、已知椭圆的焦点是 ｜和｜（1）求椭圆的方程；
（2）若点p在第三象限，且∠ =120°，求 ．
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题．
解：（1）由题设｜ ｜=2｜ ｜=4
∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴椭圆的方程为 ．
（2）设∠ ，则∠ =60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得： 故
说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把p点横坐标先求出来，再去解三角形作答
例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点p向 轴作垂线段pp?@，求线段pp?@的中点m的轨迹（若m分 pp?@之比为 ，求点m的轨迹）
解：（1）当m是线段pp?@的中点时，设动点 ，则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 所以点
（2）当m分 pp?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，
即所以点
例6、设向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （i）求动点p（x，y）的轨迹方程；
（ii）已知点a（－1， 0），设直线y= （x－2）与点p的轨迹交于b、c两点，问是否存在实数m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（i）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6
上式即为点p（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记f1（－m， 0），f2（m， 0）（0∴ pf1＋pf2=6＞f1f2
又∵x＞0，∴p点的轨迹是以f1、f2为焦点的椭圆的右半部分．
∵ 2a=6，∴a=3
又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2
∴ 所求轨迹方程为 （x＞0，0＜m＜3）
（ ii ）设b（x1， y1），c（x2， y2），
∴∴ 而y1y2= （x1－2）？ （x2－2）
= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]
若存在实数m，使得 成立
则由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=
可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①
再由
消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②
因为直线与点p的轨迹有两个交点．
所以
由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此时△＞0
但由⑤，有9m2－77= ＜0与假设矛盾
∴ 不存在符合题意的实数m，使得
例7、已知c1： ，抛物线c2：（y－m）2=2px （p＞0），且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点．
（ⅰ）当ab⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上；
（ⅱ）若p= ，且抛物线c2的焦点在直线ab上，求m的值及直线ab的方程．
解：（ⅰ）当ab⊥x轴时，点a、b关于x轴对称，所以m=0，直线ab的方程为x=1，从而点a的坐标为（1， ）或（1，－ ）．
∵点a在抛物线上，∴
此时c2的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线ab上．
（ⅱ）当c2的焦点在ab上时，由（ⅰ）知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为y=k（x－1）．
由 （kx－k－m）2= ①
因为c2的焦点f（ ，m）在y=k（x－1）上．
所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②
设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1＋x2=
由
（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1＋x2=
从而 = k2=6即k=±
又m=－ ∴m= 或m=－
当m= 时，直线ab的方程为y=－ （x－1）；
当m=－ 时，直线ab的方程为y= （x－1）．
例8、已知椭圆c： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是f1、f2，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设 = ．
（ⅰ）证明：（ⅱ）若 ，△mf1f2的周长为6，写出椭圆c的方程；
（ⅲ）确定解：（ⅰ）因为a、b分别为直线l：y=ex＋a与x轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是a（－ ，0），b（0，a）．
由 得 这里∴m = ，a）
即 解得
（ⅱ）当 时， ∴a=2c
由△mf1f2的周长为6，得2a＋2c=6
∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3
故所求椭圆c的方程为
（ⅲ）∵pf1⊥l ∴∠pf1f2=90°＋∠baf1为钝角，要使△pf1f2为等腰三角形，必有pf1=f1f2，即 pf1=c．
设点f1到l的距离为d，由
pf1= =得： =e ∴e2= 于是
即当（注：也可设p（x0，y0），解出x0，y0求之）
一、选择题
1、动点m到定点 和 的距离的和为8，则动点m的轨迹为 （ ）
a、椭圆 b、线段 c、无图形 d、两条射线
2、设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
a、 c、2－ －1
3、（20xx年高考湖南卷）f1、f2是椭圆c： 的焦点，在c上满足pf1⊥pf2的点p的个数为（ ）
a、2个 b、4个 c、无数个 d、不确定
4、椭圆 的左、右焦点为f1、f2，一直线过f1交椭圆于a、b两点，则△abf2的周长为 （ ）
a、32 b、16 c、8 d、4
5、已知点p在椭圆（x－2）2＋2y2=1上，则 的最小值为（ ）
a、 c、
6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，f、a分别是它的左焦点和右顶点，b是它的短轴的一个端点，则 等于（ ）
a、 c、
二、填空题
7、椭圆 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．
8、设f是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点pi（i=1，2， ），使得fp1、fp2、fp3…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 ．
9、设 ， 是椭圆 的两个焦点，p是椭圆上一点，且 ，则得 ．
10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
（1）和椭圆 共准线，且离心率为 ．
（2）已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为 和 ，过p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点
．
12、已知 轴上的一定点a（1，0），q为椭圆 上的动点，求aq中点m的轨迹方程
13、椭圆 的焦点为 =（3， －1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设m是椭圆上任意一点，且 = 、 ∈r），证明 为定值．
1、b
2、d
3、a
4、b
5、d（法一：设 ，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）
6、c
7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ．
8、 ∪
9、
10、m＜ 且m≠0．
11、（1）设椭圆方程 ．
解得 ， 所求椭圆方程为（2）由 ．
所求椭圆方程为 的坐标为
因为点 为椭圆 上的动点
所以有
所以中点
13、解：设p点横坐标为x0，则 为钝角．当且仅当 ．
14、（1）解：设椭圆方程 ，f（c，0），则直线ab的方程为y=x－c，代入 ，化简得：
x1x2=
由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共线，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，
又y1=x1－c，y2=x2－c
∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=
即 = ，∴ a2=3b2
∴ 高中地理 ，故离心率e= ．
（2）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2＋3y2=3b2
设 = （x2，y2），∴ ，
∵m∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2
即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．
x1x2= = 2
x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）
=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0
又 =3b2代入①得
为定值，定值为1．
